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Primero calculamos el dominio de la función:
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Hallar en los siguientes casos el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$.
b) $f(x)=\sqrt{x+2}$
b) $f(x)=\sqrt{x+2}$
Respuesta
Como te dije, para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te expliqué.
Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$
$f(x)=\sqrt{x+2}$
Para que la raíz cuadrada esté definida, necesitamos que $x+2\geq0$, lo cual implica que $x\geq-2$.
Por lo tanto, el dominio de la función es:
$\text{Dom}f=\mathbb{R}\geq-2$ o lo que es lo mismo $\text{Dom}f=[-2, +\infty)$. (Se suele preferir escribir el dominio en notación de intervalo/s)
Para saber si -3 pertenece a la imagen de la función, podemos armar una tabla de valores y graficar la función, ya que aún no sabemos calcularla.
💡 Mi recomendación para este ejercicio: hacé una tabla de valores y graficá aproximadamente la función para luego evaluar qué pasa para $y=-3$.
Ahora bien, otra forma un poco más rebuscada, sería evaluar si existe algun valor de $x$ que haga que $f(x)=-3$. Para hacer esto tenemos que reemplazar el -3 como resultado de la función y ver si corresponde a una $x$ que pertenezaca al dominio de la función:
Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:
$f(x)=\sqrt{x+2} = -3$
Esta ecuación no tiene solución en los números reales. Esto se debe a que la raíz cuadrada (o cualquier otro número par) de cualquier número real es siempre no negativa $( \ge 0)$, y por lo tanto, no puede ser un número negativo como el -3.
Y sí, ésto se relaciona con que la restricción de dominio cuando tenés raíces de índice par su argumento es siempre mayor a cero . Es decir, para cualquier valor de $x$ dentro de su dominio siempre va a dar como resultado un valor positivo de la función (esto lo vamos a ver más adelante en la materia, pero ya podés ir anotándolo). Y en este caso, ocurre que estamos preguntándonos si la función en algún momento vale -3 (un número negativo). La respuesta es un rotundo NO. No hay valor de $x$ que al reemplazarlo en f(x) haga que ésta dé como resultado $-3$.
Si no te convencí, hacé la gráfica de la función $f(x)=\sqrt{x+2}$ usando una tabla de valores y vas a ver lo que te digo.
Conclusión: $-3$ no pertenece a la imagen de la función. $-3 \notin \operatorname{Im} f$